フラクタルとマンデルブロ集合
先端研究
複素数の反復写像 z→z²+c が生み出す自己相似図形（フラクタル）を、発散判定とエスケープタイム法による可視化で扱う。
- 反復写像
- 自己相似性
- 発散条件（|z|>2）
THEME ・ 数理の道具
「図形と空間」のアトリエ
形・角度・面積・立体——図形の性質をあつかうテーマ。
動かせるアトリエ卓（15）
- 三平方の定理中3
3 辺に正方形を立てて、a²+b² と c² の面積を見比べる製図事務所のアトリエ卓。合同な直角三角形 4 枚の並べ替えで理由をたどり、図を回しても斜辺が直角の向かい側のままであることを手で確かめる。
- 三平方の定理
- 逆定理
- 空間への応用
- 三角比数I
辺の比から角度を読みとる、画家見習いの下絵。
- sin/cos/tan
- 鈍角への拡張
- 正弦定理
- 三角関数数II
単位円とサインカーブを同時に動かす、画家のアトリエ卓。
- 単位円
- 弧度法
- 周期
- 二次関数数I
y=ax^2+bx+c の平方完成・頂点・最大最小・グラフと放物線の幾何を学ぶ。
- 平方完成
- 頂点
- 軸
- 力のモーメント物理
回転を起こす力の効果＝モーメント（トルク）。力の大きさ × 腕の長さ。剛体のつり合いには「力の和ゼロ」と「モーメントの和ゼロ」の2条件が必要。
- モーメント（トルク）
- 腕の長さ
- 剛体のつり合い
- 圧力と浮力理科第1分野
圧力＝力÷面積、水圧は深さに比例、浮力＝押しのけた液体の重さ（アルキメデスの原理）。
- 圧力
- 水圧
- アルキメデスの原理
- 熱の伝わり方（伝導・対流・放射）— 電子レンジとオーブン理科第1分野
熱の伝わり方には伝導・対流・放射がある。オーブンは放射と熱風（対流）で食材の表面を熱し、内部へは伝導でゆっくり伝わる。電子レンジはマイクロ波が食材の中（表面〜約1.5cm）までしみ込み、水分子を直接ゆらして体積ごと発熱させる（誘電加熱）。だからレンジは中まで早く温まるが表面は蒸発で約100℃止まりで焦げず、オーブンは表面が180〜230℃に達して焦げるが中心は遅れる。
- 伝導
- 対流
- 放射
- 物質量（モル）と化学計算化学基礎
アボガドロ数を単位とする物質量の概念と量的計算。
- mol
- アボガドロ数 6.02×10^23
- モル質量
- 線形代数2（固有値・固有ベクトル・対角化）教養数学
記号を型の抽斗（ギリシャ文字・演算子・文字の役割・定数・物理量）に並べ、分野ダイヤルを回すと同じ記号が分野ごとに意味を変える博物学者の標本棚。λ は波長にも固有値にも、a は係数にも加速度にもなる。記号の由来と分野ごとの使い分けを、集めて並べて比べる横断レッスン。
- 固有値
- 固有ベクトル
- 対角化
- 複素数平面数C
複素数の幾何的表現・極形式・ド・モアブルの定理・複素数の n 乗根を扱う。
- 複素数平面
- 絶対値と偏角
- 極形式
- 角運動量と歳差運動（コマ・ジャイロ）物理
角運動量 L=Iω、トルク τ=ΔL/Δt、対称こまの定常歳差 Ω=Mgr/(Iω)。速く回るほど歳差は遅い。
- 角運動量
- 角運動量保存
- トルク
- 連続の式とベルヌーイの定理物理
断面積が変わるパイプを流れる水。Q=Av が流量、P+½ρv²+ρgh=一定 がベルヌーイ。圧力と流速はトレードオフ。
- 連続の式 Q=Av
- 流量保存
- ベルヌーイの定理
- 関数 y=ax^2中3
y=ax^2 のグラフ・変化の割合・放物線の対称性を扱う。
- 放物線
- 変化の割合
- y=ax^2
- かけ算（九九）小2
タイルを敷いて 3×4＝12 を面積で見せ、九九表の答えから逆引きできる画家のアトリエ卓。
- かけ算
- 同数累加
- 九九
テーマの解説（6）
数学 ベクトル
ベクトルは大きさと向きを持つ「矢印」。点（座標）とのちがい、成分と大きさ、継ぎ足しの足し算、スカラー倍、内積と直交までを、川を渡る船やゲームの斜め移動など身近な例で4階層に。
数学 外積（ベクトル積）
外積 a×b は、2本の矢印が張る平行四辺形に垂直な「新しい矢印」をつくる掛け算。向き（右ねじの法則）と大きさ |a×b|=|a||b|sinθ（＝面積）、内積とのちがい、トルクや法線ベクトルへの使い道を3D図で4階層に。
数学 複素数平面
絶対値・偏角・極形式から、複素数の積が「回転＋拡大」に見える理由、ド・モアブルの定理とn乗根、交流回路のフェーザ図までを4階層で読み解く。複素数を平面上の点として見直す続編。
数学 複素解析
複素関数w=f(z)を平面から平面への変換として見て、コーシー・リーマン方程式で正則性を、等角写像で角度保存を、留数定理で周回積分の不思議を確かめる大学レベルの入口。
数学 三平方の定理
斜辺は「斜めに見える辺」ではなく直角の向かい側。3辺に立てた正方形の面積でa²+b²=c²を確かめ、合同な直角三角形4枚の並べ替えによる証明、逆定理での直角判定、直方体の対角線、ノルムや余弦定理への一般化までを4階層でたどる。
数学 フラクタルとマンデルブロ集合
「2乗して決めた数を足す」をくり返すだけで、答えは遠くへ飛ぶかその場にとどまるかに分かれる。とどまる数を平面に集めた図形がマンデルブロ集合。色は距離ではなく発散までの反復回数、拡大しても尽きない準自己相似、箱数え次元、ジュリア集合との対応、境界の次元が2であることまでを4階層でたどる。