外積とは — 2本の矢印から「面に垂直な矢印」を作る掛け算のしくみ

外積 a×b は、2本のベクトル a・b から『新しいベクトル（矢印）』を作る掛け算です。できる矢印は、a と b が張る平面に垂直に立ち上がり、向きは右ねじの法則で決まります。大きさ |a×b| = |a||b|sinθ は、2本が張る平行四辺形の面積に等しい。答えが数になる内積とちがって、外積は向きを持つ矢印が出てくるのが特徴です。クロス積・ベクトル積とも呼ばれ、主に空間（3次元）で使います。

いちばんの違いは『答えが何か』です。内積 a·b は数（スカラー）で、|a||b|cosθ。2本の重なり具合・影の長さを表します。外積 a×b は矢印（ベクトル）で、大きさが |a||b|sinθ、向きは両方に垂直。2本がどれだけ開いているか（張る面積）と、その面の向きを表します。cos と sin、影と面積 ── ちょうど対になった2種類の掛け算だと考えると整理できます。内積は順番を変えても同じ、外積は順番を変えると向きが逆、という違いもあります。

右手を使います。右手の指先を、1本目 a から2本目 b へ回す向きにそろえて握ると、立てた親指の指す向きが a×b です。これが右ねじの法則。ねじを a から b へ回したとき、ねじが進んでいく向き、とも言えます。できた矢印は a とも b とも直角になっていて、内積で確かめると a×b·a も a×b·b もちょうど 0 になります。『なんとなく上』ではなく、右手で向きまできっちり決まるのがポイントです。

外積には a×b = −(b×a) という性質（反交換）があるからです。右ねじの法則で、回す向き（a→b か b→a か）を逆にすると、ねじの進む向きも逆になります。だから大きさ（平行四辺形の面積）は同じまま、矢印だけが真うしろを向く。ふつうの掛け算や内積は順番を入れかえても変わりませんが、外積は順番が向きを決めます。トルクやモーターの力で『回る向き』が問題になるのは、この順番の効果が効いているためです。

a と b が張る平行四辺形の面積です。式は |a×b| = |a||b|sinθ（θ は2本のなす角）。2本を同じ向きにそろえる（θ=0°、つまり平行）と sin0°=0 で面積はゼロ、直角（θ=90°）で最大になります。三角形なら面積はこの半分 ½|a×b| なので、頂点の座標から土地やパネルの面積を出すのにも使えます。内積が cosθ で『影の長さ』を測るのに対し、外積は sinθ で『張った広さ』を測る、と覚えると対で身につきます。

平面では、空間のような『面に垂直な矢印』を立てる余地がありません。そのかわり、成分で aₓb_y − a_ybₓ という1つの数を考えます。これは a・b が張る平行四辺形の符号付き面積で、b が a の左回りならプラス、右回りならマイナス。じつはこの値は、2本を z=0 の空間ベクトルとみなして外積を取ったときの z 成分そのものです。だから『2Dの外積』と『3Dの外積』は地続き。平面で面積と向き（回り）を一度に測りたいときに、この符号付き面積が活躍します。