ベクトルとは — 大きさと向きを「矢印」で表す量のしくみ

大きさと向きの両方を持つ量のことです。地図の『東へ3km』のように、どっちへ・どれだけ、をまとめて1本の矢印で表します。長さだけ・数だけのもの（重さ・温度・道のりなど）は『スカラー』と呼んで区別します。矢印は平行移動しても、向きと長さが同じなら同じベクトル。だから『どこにあるか』ではなく『どっちへどれだけ』が本体です。

向きを持つかどうかが分かれ目です。ベクトルは大きさと向きの両方を持つ量（速度・力・変位など）。スカラーは大きさだけの量（速さ・質量・気温・道のりなど）。たとえば『時速60km』はスカラーですが、『北へ時速60km』はベクトルになります。内積 a·b は、ベクトルどうしから向きの情報が消えてスカラー（ただの数）が出てくる、橋渡しのような計算です。

図では『継ぎ足し』です。a の先っぽに b の根もとをつないで、最初の根もとから最後の先っぽへ引いた矢印が a+b。a と b で平行四辺形を作り、その対角線を見ても同じ行き先になります。成分なら、x どうし・y どうしをそのまま足すだけで (aₓ+bₓ, a_y+b_y)。図でたどっても成分で計算しても、着く場所はぴったり一致します。

成分 (aₓ, a_y) が分かれば、三平方の定理で |a| = √(aₓ² + a_y²)。右に aₓ・上に a_y 進む直角三角形の斜辺の長さ、と考えると分かりやすい。たとえば (3, 4) なら √(9+16)=5、(1, 1) なら √2≒1.41。成分をそのまま足す（3+4=7）のは間違いで、必ず2乗して足してから √ を取ります。

内積 a·b は『2本の矢印がどれだけ同じ向きにそろっているか』を1つの数で表します。a·b = aₓbₓ + a_yb_y で計算でき、なす角を θ として |a||b|cosθ にも等しい。同じ向きほど大きく、逆向きでマイナス。そして a·b = 0 は、2本がちょうど直角（垂直）であることのしるしです。『垂直かどうか』を、角度を測らず掛け算と足し算だけで判定できるのが内積の便利なところです。

座標は『平面のどこにあるか（位置）』、ベクトルは『どっちへどれだけ（移動やずれ）』を表します。原点から点 P へ引いた矢印（位置ベクトル）だと、成分と P の座標がたまたま同じ数になるので混同しがち。でもベクトルは平行移動しても変わらないのに対し、点は動かせば別の点になります。『位置』と『ずれ』を切り分けるのがコツです。