SciStage / 三角関数 / 解説
三角関数のふしぎ — 単位円から、すべての波へ
音、光、ばね、心電図、潮の満ち引き — 身のまわりの波はみんな「サインの形」をしています。たった一つの式
y = A sin(B(x − C)) + D
で形が決まります。あなたのレベルから読みはじめてみよう。
単位円って、なに？
半径 1 の円を「単位円」と呼びます。中心からまっすぐ右に伸ばした線（半直線）と、円の上の点 P を結んだ半径との間の角度を θ（シータ） と呼びます。
- θ が 0 のとき、P はまっすぐ右（座標 (1, 0)）にいる。
- θ が π/2 (90°) のとき、P はまっすぐ上（座標 (0, 1)）にいる。
- このとき P の x 座標を cos θ、y 座標を sin θ と呼びます。
ただこれだけ。sin と cos は、円の上の点の x, y を表しているだけなんです。
点 P が一周すると、どんな形ができる？
シミュレーションを開くと、左に単位円、右にサインカーブが見えます。点 P が円の上をぐるぐる回るとき、P の y 座標だけを見続けてみましょう。
- P がてっぺん（θ = π/2）にいるとき、y は 1。
- P が右はじ（θ = 0）にいるとき、y は 0。
- P が下のはし（θ = π/2 の反対側）にいるとき、y は −1。
この 「P の y 座標」を時間に対してプロットしたものがサインカーブ です。だから右のグラフの右はじの高さは、いつも左の P の高さと同じになっています。
sin と cos って、どんな数字？
| θ | sin θ | cos θ |
|---|---|---|
| 0 (0°) | 0 | 1 |
| π/6 (30°) | 1/2 | √3/2 |
| π/4 (45°) | √2/2 | √2/2 |
| π/3 (60°) | √3/2 | 1/2 |
| π/2 (90°) | 1 | 0 |
| π (180°) | 0 | −1 |
| 3π/2 (270°) | −1 | 0 |
「角度」と「数」を結びつけている表です。中学では「直角三角形の辺の長さの比」と習いますが、本当の姿は 単位円上の点の座標 です。
ラジアンって、何ですか？
「90 度」「180 度」のような 度数法 に対して、ラジアンは 弧の長さ で角度を測ります。
- 円の中心から見て、半径と同じ長さの弧を切り取った角度が 1 ラジアン。
- 360 度（一周）の弧の長さは 2π·r。半径 1 のときは 2π。だから 360° = 2π rad。
- 半周は π、4 分の 1 周は π/2。
数学で角度を使うときは、ほぼ常にラジアン。慣れるまでは「π = 180°」と覚えておけば十分です。
やってみよう
ここまで読んだら、実際に手を動かしてみるのがいちばんです。