複素解析 — 関数は平面から平面への変換、等角写像と留数定理を確かめる
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動かす前に — どうなると思う？
z̄=x−yi は u,v ともに滑らかな式なのに、複素関数として微分可能（正則）？
ヒント: 実関数として滑らかであることと、複素関数として微分可能であることは別の条件。
複素関数は「平面から平面への変換」
その 1w=f(z) は、複素数 z を複素数 w に対応させる式であると同時に、左の平面（定義域）を右の平面（値域）に写す変換でもある。z をドラッグして、z² や 1/z、eᶻ がそれぞれどんな変換になるかを 目で確かめよう。
正則性は、実関数の「微分できる」より強い条件
その 2u,v がどちらも滑らかな式でも、コーシー・リーマン方程式を満たさなければ複素関数として正則ではない——複素共役 z̄ はその代表的な反例。正則な関数だけが持つ「角度を保つ」性質 （等角写像）は、格子全体を変形させると一目でわかる。
周回積分は、囲む特異点だけで決まる
その 3閉じた経路に沿って複素関数を積分すると、経路の形にはよらず、囲んでいる極（特異点）だけで値が決まる——これが留数定理。経路をぐにゃっと変形させても、囲む極が同じなら 積分値が変わらない様子を確かめよう。