フラクタルとマンデルブロ集合 — z→z²+cの反復が生む自己相似図形を確かめる
発展 ✦ 数学 ✦ フラクタルとマンデルブロ集合·発展・先端研究
具体：1点の軌道を数値で追う
動かす前に — どうなると思う？
c=1のとき、z₀=0からz→z²+cを繰り返すと、zはどうなる？
ヒント: z₀=0, z₁=1, z₂=2, z₃=5…実際に1ステップずつ計算してみよう。
z→z²+cを、ただ何度も繰り返すだけ
その 1z₀=0から始めて、z→z²+cという1つの式を何度も繰り返す——それだけの操作。cの値をドラッグで変えるだけで、軌道が無限大に発散するか、 ある範囲にとどまり続けるかがまったく変わる。
マンデルブロ集合は「発散しなかった点」の地図
その 2すべてのcについて、z₀=0からの軌道が有界にとどまるかを調べ、発散するまでの反復回数で色分けすると、複素平面上に精緻な模様が浮かび上がる。これがマンデルブロ集合。
境界はどこまで拡大しても複雑なまま
その 3マンデルブロ集合の境界を拡大していくと、同じくらい複雑な渦や模様が何度も現れ続ける——これが自己相似性。海岸線をどれだけ拡大してもギザギザが消えないのと同じ性質。