複素数の反復写像 z→z²+c が生み出す自己相似図形(フラクタル)を、発散判定とエスケープタイム法による可視化で扱う。
- 反復写像
- 自己相似性
- 発散条件(|z|>2)
THEME ・ 数理の道具
わからない数を文字で置いて解く、式の考え方を集めたテーマ。
重力ポテンシャル U = −GMm/r、全力学的エネルギー、脱出速度まで踏み込む発展版。
複素数の反復写像 z→z²+c が生み出す自己相似図形(フラクタル)を、発散判定とエスケープタイム法による可視化で扱う。
点を原点からの矢印で捉え直し、内分点・外分点・重心・直線を t でなぞる製図事務所のアトリエ卓。ゲームの lerp と同じ式 P=(1−t)A+tB を手で動かす。
2 本の矢印をドラッグして和・差・スカラー倍を引く、製図事務所のアトリエ卓。図の矢印と成分の数値がいつも隣どうし。
接線と導関数を同期させて、曲線を削り出す建築事務所。
連続の方程式、オイラー方程式、ナビエ・ストークス方程式の入口、ベルヌーイの定理。
空間内のベクトル・内積・平面と直線の方程式・球面の方程式を扱う。
複素数の幾何的表現・極形式・ド・モアブルの定理・複素数の n 乗根を扱う。
正則関数・コーシー・リーマン方程式・コーシーの積分定理・留数定理を扱う。
力・質量・摩擦をつまみで変え、合力 = 質量 × 加速度を体感する。
複素数の定義・四則演算・3次方程式の解法・因数定理・剰余の定理を扱う。
二次関数 y=ax²+bx+c のグラフ=放物線を、係数 a の開きと向き、頂点と軸 x=−b/(2a)、平方完成、場所で変わる変化の割合、判別式と x 軸の交点まで、噴水やコースターなど身近な例で4階層に。
3次関数のグラフと判別式Δ、因数定理・有理根定理・合成除法から、虚数単位i²=−1と複素数の四則演算、共役複素数解までを4階層で読み解く。厚紙工作の箱やイヤホンのインピーダンス表記も。
絶対値・偏角・極形式から、複素数の積が「回転+拡大」に見える理由、ド・モアブルの定理とn乗根、交流回路のフェーザ図までを4階層で読み解く。複素数を平面上の点として見直す続編。
「2乗して決めた数を足す」をくり返すだけで、答えは遠くへ飛ぶかその場にとどまるかに分かれる。とどまる数を平面に集めた図形がマンデルブロ集合。色は距離ではなく発散までの反復回数、拡大しても尽きない準自己相似、箱数え次元、ジュリア集合との対応、境界の次元が2であることまでを4階層でたどる。