複素解析とは — 複素関数を「平面から平面への変換」として見る

飛行機の翼まわりの空気の流れ（流体力学）、点電荷のまわりの電場（電磁気学）、フィードバック制御システムの安定性判定（制御工学）など、実務のさまざまな計算で使われています。共通しているのは「複雑な形の問題を、単純な形の問題に変換して解く」という発想です。

似ていますが、複素関数の正則性のほうがずっと厳しい条件です。実数の関数なら滑らかに見えれば微分できることが多いのですが、複素関数では、実部と虚部がコーシー・リーマン方程式という2つの式を同時に満たさなければ正則とは呼べません。複素共役という単純な変換ですら、この条件を満たさず正則になれません。

経路を少しだけ動かしても、その経路が新しく特異点（極）をまたがない限り、囲んでいるものは変わりません。囲んでいるものが変わらなければ、積分の値も変わらない——これが留数定理のからくりです。経路をどれだけぐにゃぐにゃ変形させても、極をまたがなければ答えは同じままです。

正則な関数は、ごく小さな範囲だけを見ると「回転と拡大」に近い動きをします。この小さな範囲での回転と拡大は、どの方向から近づいても同じ角度分だけ向きを変えるので、2本の線が交わる角度は変換の前後で保たれます。ただし、微分係数がゼロになる特別な点（臨界点）では、この性質が崩れて角度が変わってしまいます。

制御システムが安定して動くかどうかを、グラフを一周描くだけで判定できる方法です。複素平面上に特定の閉じた経路を描き、その経路がシステムの伝達関数の不安定な極をいくつ囲むかを数えます。1932年にハリー・ナイキストが発表して以来、電気回路やロボットの制御設計で標準的に使われています。