複素数平面 — 積は回転＋拡大、ドラッグして確かめる
高3 ✦ 数学 ✦ 複素数平面·高3数学（数C）
動かす前に — どうなると思う？
z=3+2i を平面上の点として見たとき、絶対値 |z| は何を表す？
ヒント: 実部・虚部という「数の中身」ではなく、「点の位置」として見てみよう。
複素数は「数」であり、平面上の「点」でもある
その 1z=a+bi は、実部 a と虚部 b という「数の組」であると同時に、実軸・虚軸で作る平面上の点でもある。原点からの距離が絶対値 |z|、実軸から測った角度が偏角 arg z。 点をドラッグして、数と図形の対応を確かめよう。
積は「回転＋拡大」——計算せずに図で見える
その 2z に α を掛けた w=αz は、絶対値どうしは掛け算、偏角どうしは足し算になる。つまり w は、z を原点中心に α の偏角ぶん回転させ、α の絶対値ぶん 拡大（または縮小）しただけ。i を掛けると90°回転するのも、この仕組みの 一例にすぎない。
n乗根は、単位円上に並ぶ正n角形
その 3zⁿ=1 を満たす複素数（n乗根）は、絶対値が同じで偏角が均等にずれた n 個の点になる——だから必ず正n角形の頂点として並ぶ。ド・モアブルの定理を式として 暗記するのではなく、「角度を n 等分する」図形として捉え直そう。