ガルトンボードとは — 玉を落とすだけで正規分布が生まれるしくみ

板の上に釘を三角形（五点配置＝クインカンクス）に並べ、上から玉を落とす装置です。玉は釘に当たるたびに左か右にはじかれ、いちばん下の受け皿に積み重なっていきます。1個ずつの行き先はバラバラでも、数を集めると真ん中が高く両端が低い「釣鐘型（正規分布）」の山ができあがります。統計学者フランシス・ゴルトンが1873〜74年の冬に製作させ、1874年2月27日にロンドン王立研究所で初めて公開しました。

各段で「右か左か」を選ぶ回数を数えると、その分布は二項分布という形になります。段の数を増やしていくと、この二項分布の形はどんどん正規分布に近づいていく——これがド・モアブル–ラプラスの定理で、より一般的な中心極限定理の特別な場合にあたります。ざっくり言うと「小さなランダムな要因がたくさん積み重なると、合計は自然と釣鐘型に落ち着く」という性質です。

データが平均からどれくらいばらついているかを表す数で、記号は σ（シグマ）。各データと平均との差を2乗して平均し（これが分散）、その平方根を取ったものが標準偏差です。ガルトンボードでは、段数（釘の行数）を増やすほど山の裾が横に広がり、標準偏差も大きくなります。「標準偏差（standard deviation）」という用語とσという記号は、ゴルトンと縁の深かった統計学者カール・ピアソンが1893年の講演で口頭で紹介し、1894年の論文で活字にしたのが最初とされています。ゴルトン自身は「確率誤差」という別の言い方を使っていました。

カール・フリードリヒ・ガウスが1809年に天文観測の誤差を扱う中でこの分布を使い、名前が定着したためです。ただし数式としてこの形を最初に導いたのはガウスより76年前、1733年のアブラーム・ド・モアブルでした。もっともド・モアブル自身は、これを二項分布の近似計算の道具くらいにしか考えていなかったようで、「誤差の法則」として意義づけたのはのちのラプラスとガウスだった、というのが今の学術的な整理です。

正規分布では、平均から標準偏差1個分（±1σ）の範囲にデータ全体のおよそ68.3%、±2σの範囲に約95.4%、±3σの範囲に約99.7%が収まる、という目安です。ガルトンボードのシミュレーションでσ帯を表示すると、玉の大部分がこの範囲にすっぽり収まっている様子を実際に確認できます。

19世紀イギリスの学者で、進化論で知られるチャールズ・ダーウィンとは祖父を共有する親戚にあたります（「異母いとこ」とする資料が多いものの、「はとこ」とする資料もあり、正確な続柄には資料間で食い違いがあります）。指紋鑑定・気象図・相関係数など幅広い分野に業績を残した一方、後年「優生学」という言葉を作り、今日では倫理的に厳しく批判されている主張も唱えました。ガルトンボード（別名クインカンクス）は、彼が遺伝の統計的な性質を説明するために作った装置です。